Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）设点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．
（3）设点M在棱BB₁上，试确定点M的位置，使得平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C．

Answer 1

分析：（1）要证AD⊥平面BCC₁B₁，只需证明AD⊥BC，利用勾股定理即可证得；
（2）要证A₁E∥平面ADC₁，只证A₁E∥AD，连接DE，可证四边形ADEA₁为平行四边形；
（3）M为BB₁的中点，取AC中点G，AC₁中点N，连接MN，BG，先证BG⊥面ACC₁A₁，再证MN∥BG即可；

解答：（1）证明：因为该几何体为正三棱柱，所以AC12=AC2+CC12，
又AD⊥C₁D，所以AC12=AD²+DC12=AD²+DC²CC12，
所以AC²+CC12=AD²+DC²CC12，即AC²=AD²+DC²，
所以AD⊥DC，又AD⊥DC₁，DC∩DC₁=D，DC?面BCC₁B₁，DC₁?面BCC₁B₁；
所以AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）证明：由（1）知，AD⊥BC，∴D为BC中点，又E是B₁C₁的中点，
所以DE∥AA₁，DE=AA₁，所以四边形ADEA₁为平行四边形，
所以A₁E∥AD，且A₁E?面ADC₁，AD?面ADC₁，
所以A₁E∥面ADC₁．
（3）解：点M为BB₁的中点，证明如下：
取AC中点G，AC₁中点N，连接MN，BG，
则GN∥CC₁，且GN=

1

2

CC₁，又BM∥CC₁，BM=

1

2

CC₁，
∴GN∥BM，GN=BM，所以四边形BMNG为平行四边形，
∴MN∥BG；
∵△ABC为正三角形，∴BG⊥AC，又CC_1⊥面ABC，∴CC₁⊥BG，
∴BG⊥面ACC₁A₁，又MN∥BG，
所以MN⊥面ACC₁A₁，且MN?面AMC₁中，
所以平面AMC₁⊥面ACC₁A₁．

点评：本题考查线面平行、线面垂直及面面垂直的判定，考查学生的逻辑推理能力，考查学生的转化论证能力．