Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y=x+2平行，且它的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点重合，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，结合双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y=x+2平行，求出a，b，即可得出双曲线的方程．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点为（±2$\sqrt{2}$，0），
∴双曲线的焦点坐标为（±2$\sqrt{2}$，0），
故双曲线中的c=2$\sqrt{2}$，且满足 c²=a²+b²，故a²+b²=8
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y=x+2平行，
∴a=b，
∴a=b=2，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．