Question

8．某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；
（2）求该公园的最大面积．

Answer 1

分析 （1）设AF所在抛物线的方程为y=ax²（a＞0），代入点（2，4），解得a，即可得到所求AF所在抛物线的方程；
（2）求得直线CE的方程，设P（x，x²）（0＜x＜2），运用梯形的面积公式，可得公园的面积，求出导数，求得单调区间和极值，也为最值，可得公园面积的最大值．

解答 解：（1）设AF所在抛物线的方程为y=ax²（a＞0），
∵抛物线过F（2，4），∴4=a•2²，得a=1，
∴AF所在抛物线的方程为y=x²；
（2）又 E（0，4），C（2，6），则EC所在直线的方程为y=x+4，
设P（x，x²）（0＜x＜2），
则PO=x，OE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴公园的面积$S=\frac{1}{2}（{4-{x^2}+4+x-{x^2}}）•x=-{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+4x$（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0，得$x=\frac{4}{3}$或x=-1（舍去负值），
当x变化时，S'和的变化情况如下表：

x	$（{0，\frac{4}{3}}）$	$\frac{4}{3}$	$（{\frac{4}{3}，2}）$
S'	+	0	-
S	↑	极大值$\frac{104}{27}$	↓

当$x=\frac{4}{3}$时，S取得最大值$\frac{104}{27}$．故该公园的最大面积为$\frac{104}{27}$．

点评 本题考查导数的运用：求最值，同时考查抛物线的方程的运用，考查运算能力，属于中档题．