Question

如右图已知每条棱长都为3的四棱柱ABCD-ABCD中，底面是菱形，BAD=60°，D B⊥平面ABCD,长为2的线段MN的一个端点M在DD上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与此四棱柱的面所围成的几何体的体积为 _____________

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：

取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD

以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系

设M（0，0，z），N（x，y，0），则P,

∴

∴

∴

即OP=1

∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分

又∵∠BAD=60°

∴∠ADC=120°

∴点P的轨迹是球的,

∴几何体的体积为

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．

点评：本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可,属中档题.