Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）对任意的x1∈(0，

1

2

)，x2∈(0，

1

2

)，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过对等式中的x，y分别赋值1，0求出f（0）的值．
（2）要使不等式恒成立就需左边的最大值小于右边的最小值，通过对a讨论求出右边的最小值，求出a的范围．

解答：解：（1）由已知等式f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令x=1，y=0得f（1）-f（0）=2，
又∵f（1）=0，∴f（0）=-2．
（2）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令y=0得f（x）-f（0）=（x+1）x，
由（1）知f（0）=-2，∴f（x）+2=x²+x．
∵x1∈(0，

1

2

)，
∴f(x1)+2=x12+x1=(x1+

1

2

)2-

1

4

在x1∈(0，

1

2

)上单调递增，
∴f(x1)+2∈(0，

3

4

)
要使任意x1∈(0，

1

2

)，x2∈(0，

1

2

)都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
当a＞1时，logax2＜loga

1

2

，显然不成立．
当0＜a＜1时，logax2＞loga

1

2

，∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥ 3 4

，解得

3 4

4

≤a＜1
∴a的取值范围是[

3 4

4

，1)．

点评：本题考查通过赋值法求函数值；解决不等式恒成立常用的方法是转化为函数的最值．