Question

14．已知方程x²+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，则$\frac{b-3}{a-1}$的取值范围为$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 由一元二次方程根的分布得到关于a，b的不等式组，画出可行域，结合$\frac{b-3}{a-1}$的几何意义，即可行域内的动点与定点M（1，3）连线的斜率得答案．

解答 解：令f（x）=x²+ax+2b，
由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=a+2b+1＜0}\\{f（2）=2a+2b+4＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$画出可行域如图，
A（-1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-3，1），
$\frac{b-3}{a-1}$的几何意义为可行域内的动点与定点M（1，3）连线的斜率，
∵${k}_{MA}=\frac{3}{2}，{k}_{MB}=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{b-3}{a-1}$的取值范围为$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．
故答案为：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 本题一元二次方程根的分布，考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．