Question

已知函数φ（x）=f（x）+g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且φ（

1

3

）=16，φ（1）=8．
（1）求φ（x）的解析式，并指出定义域；
（2）试分别判断函数φ（x）在（0，

15

3

]，[

15

3

，+∞）的单调性并证明；
（3）求φ（x）在（0，+∞）的值域．

Answer 1

分析：（1）可以根据题中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数的条件设出函数φ（x）的表达式，再由待定系数法求出，进而可得函数的定义域
（2）直接利用函数单调性的定义进行证明，设在定义域上任取两个数x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，从而得到结论．
（3）结合（2）中函数的单调性，分析函数值的取值范围，可得φ（x）在（0，+∞）的值域．

解答：解：设f（x）=mx（m是非零常数），g（x）=

n

x

（n是非零常数），
∴φ（x）=mx+

n

x

，
由φ（

1

3

）=16，φ（1）=8得

1 3 m+3n=16 m+n=8

，
解得

m=3 n=5

．
故φ（x）=3x+

5

x

． 其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）函数φ（x）在（0，

15

3

]上单调递减，在[

15

3

，+∞）上单调递增，理由如下：
任取任取两个数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0
则f（x₁）-f（x₂）=3x1+

5

x1

-3x2+

5

x2

=3（x₁-x₂）+

5(x2-x1)

x1•x2

=（x₁-x₂）

3x1•x2-5

x1•x2

当x∈（0，

15

3

]时，3x₁•x₂-5＜0，则f（x₁）＞f（x₂）
故函数φ（x）=3x+

5

x

在（0，

15

3

]上单调递减，
当x∈[

15

3

，+∞）时，3x₁•x₂-5＞0，则f（x₁）＜f（x₂）
故函数φ（x）=3x+

5

x

在[

15

3

，+∞）上单调递增
（3）由（2）中函数φ（x）在（0，

15

3

]上单调递减，在[

15

3

，+∞）上单调递增，
故当x=

15

3

时，函数取最小值2

15

，无最大值
故φ（x）在（0，+∞）的值域为[2

15

，+∞）

点评：本题考查的知识点是求函数的解析式，函数的单调性的判断与证明，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．