分析 设过点P的切线为y-1=k(x+1),联立抛物线的方程,运用直线与抛物线相切的条件:判别式为0,求得切线的斜率,可得四边形PCFD为矩形,求出切线的方程,运用点到直线的距离公式可得矩形的两边长,即可得到所求△PCD的面积.
解答 解:设过点P的切线为y-1=k(x+1),
联立抛物线的方程,消去x,可得ky2-4y+4k+4=0,
由相切的条件,可得△=0,即为16-4k(4k+4)=0,
即k2+k-1=0,解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$,
由k1k2=-1,可得两切线PA,PB垂直,
即有四边形PCFD为矩形,
设PA的方程为y-1=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(x+1),
即为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$x-y+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=0,
可得F到直线PA的距离为d1=$\frac{|\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$,
同理可得F到直线PB的距离为d2=$\frac{|\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$,
则△PCD的面积为S=$\frac{1}{2}$d1d2=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
点评 本题考查抛物线的方程及性质,考查直线和抛物线相切的条件,同时考查点到直线的距离公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
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A. | (x+$\frac{1}{x}$)′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$ | B. | (lgx)′=$\frac{1}{xln10}$ | C. | (lnx)′=x | D. | (x2cosx)′=-2xsinx |
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A. | 一定外切 | B. | 一定内切 | ||
C. | 一定不相交 | D. | 不能确定,与k的值有关 |
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