Question

如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD.
 
(1)求证：BD平分∠CBE；
(2)求证：AH·BH＝AE·HC.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB.
又∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，
所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE.
(2)由(1)可知BE＝BH，
所以AH·BH＝AH·BE，
因为∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，
所以△AHC∽△AEB，
所以，即AH·BE＝AE·HC，
即AH·BH＝AE·HC.