Question

已知向量

a

=(

3

cosx-

3

，sinx)，

b

=(1+cosx，cosx)，设f(x)=

a

•

b

．
（1）求f(

25π

6

)的值；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据平面向量数量积的运算公式求出f（x）的解析式，然后利用二倍角公式以及配角公式化简整理，将

25π

6

代入即可；
（2）先根据条件求出角的取值范围，再结合三角函数的单调性求出函数的值域即可．

解答：解：f(x)=

a

•

b

=

3

(cosx-1)(1+cosx)+sinxcosx
=-

3

sin2x+sinxcosx=-

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x
=-

3

2

+sin(2x+

π

3

)（4分）
（1）f(

25π

6

)=-

3

2

+sin(

26π

3

)=-

3

2

+sin(8π+

2π

3

)
=-

3

2

+sin(

2π

3

)=0（8分）
（2）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，(2x+

π

3

)∈[-

π

3

，

2π

3

]，
sin(2x+

π

3

)∈[-

3

2

，1]
∴f(x)∈[-

3

，1-

3

2

]．（12分）

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及三角函数最值的求解，属于基础题．