Question

设F₁，F₂分别为椭C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点A(1，

3

2

)到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点Q(0.

1

2

)求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b²=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1，

3

2

）到椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）两焦点F₁，F₂的距离之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴

12

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，
∴b²=3，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，其焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（Ⅱ）设P（2cosθ，

3

sinθ），
∵Q（0，

1

2

），
∴|PQ|²=4cos²θ+(

3

sinθ-

1

2

)2
=4-4sin²θ+3sin²θ-

3

sinθ+

1

4

=-sin²θ-

3

sinθ+

17

4

=-(sinθ+

3

2

)2+5≤5．
∴|PQ|的最大值为

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．