Question

上海世博会上有一种舞台灯，外形是正六边棱柱，在其每个侧面（编号分别是①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，每只灯正常发光的概率是0.5，若一侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面上恰有2个面需要更换的概率．

Answer 1

分析：（1）根据题意，分析可得若①号面需要更换，则①号面上的5个灯中至少有3只灯不能正常发光，包括有3只、4只、5只灯不能正常发光三种情况，由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得每种情况的概率，相加可得答案；
（2）由（1）的结论，易得每个面需要更换的概率都为

1

2

，进而由n次独立重复实验中恰有k次发生的概率公式，计算可得答案．

解答：解：（1）①号面需要更换，即①号面上的5个灯中至少有3只灯不能正常发光，
有3只灯不能正常发光的概率为C₅³（

1

2

）³（

1

2

）²=10×（

1

2

）⁵
有4只灯不能正常发光的概率为C₅⁴（

1

2

）⁴（

1

2

）=5×（

1

2

）⁵
有5只灯不能正常发光的概率为C₅⁵（

1

2

）⁵=（

1

2

）⁵
则①号面需要更换的概率P=16×（

1

2

）⁵=

1

2

；
（2）由（1）的结论，易得每个面需要更换的概率都为

1

2

，
则6个面中恰有2个面需要更换的概率P=C₆²（

1

2

）⁴（

1

2

）²=15×（

1

2

）⁶=

15

64

．

点评：本题考查n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，注意至少、最多、至少一类词的含义．