Question

【题目】已知f（x）=|2ax+1|，（a∈R），不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若 恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由|2ax+1|≤3，

得﹣3≤2ax+1≤3，

故﹣4≤2ax≤2，

故﹣2≤ax≤1，

而不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}，

故a=1；

（2）解：由（1）得：f（x）=|2x+1|，

f（x）﹣2f（ ）=|2x+1|﹣2|x+1|=|2x+1|﹣|2x+2|，

若 恒成立，

即|2x+2|﹣|2x+1|≤|2x+2﹣2x﹣1|=1≤k，

故k≥1．

【解析】（1）求出﹣2≤ax≤1，而不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}，根据对应关系求出a的值即可；（2）问题转化为|2x+2|﹣|2x+1|≤|2x+2﹣2x﹣1|=1≤k，从而求出k的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．