Question

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)-1,7,-13,19,…;

(2)7,77,777,7 777,…;

(3),,,,,…;

(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;

(5),,,,…;

(6),,,,…;

(7)1,0,,0,,0,,0,…;

(8)11,102,1 003,10 004,….

   

Answer 1

思路分析：本题给出了数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式.通项公式就是寻找一列数的排列规则，也即找每一个数与它的序号间的对应法则.

    解：(1)应解决两个问题，一是符号问题，可考虑用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6.故通项公式a_n=(-1)ⁿ(6n-5).

(2)先联想数列1,11,111,1 111,…的通项，它又与数列9,99,999,9 999,…的通项有关，而=10ⁿ-1,于是a_n=(10ⁿ-1).

(3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合，则所求数列的通项公式a_n=.

(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,…,则a_n=5sin.

(5)数列可以写成,,,,…,于是分子依次为3,4,5,6,…,其规律是后项等于前项加1，又首项为3=1+2，故分子的通项公式为n+2;分母依次为5,8,11,14,其规律是后项等于前项加3,又首项为5=3×1+2,故分母的通项公式为3n+2.

∴数列的通项公式为a_n=.

(6)分子为1,3,5,7,…,其通项公式为2n-1;分母为4,8,16,32,即2²,2³,2⁴,2⁵,…,其通项公式为2ⁿ⁺¹.∴数列的通项公式为a_n=.

(7)所给数列可等价变形为,,,,,,,,…,分子是1,0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，其通项公式为,分母的通项公式为n，所以数列的通项公式为.

(8)所给数列可等价变形为10+1,10²+2,10³+3,10⁴+4,…,所以其通项公式为a_n=10ⁿ+n.

    思维启示：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：

(1)符号用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹或(-1)^n-1来调解，这是因为n和n+1奇偶交错.

(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.

(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.

(4)此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.

(5)应注意：①并非所有的数列都能写出通项公式；②同一数列的通项公式未必唯一；③数列是一个特殊的函数，其通项公式可用分段函数来表示.