Question

5．已知抛物线y²=4x，点A（1，2），过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别于抛物线交于两点P，Q．证明：直线PQ的斜率为定值．

Answer 1

分析 由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在抛物线y²=4x上，得到两方程，作差，结合斜率公式，可得PQ的斜率，同理可得AP，AQ的斜率，由k_AP=-k_AQ，可得y₁+y₂=-4，由此能够证明直线AB的斜率为定值．

解答 证明：∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在抛物线y²=4x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，
∴y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_AP=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k_AQ=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∵k_AP=-k_AQ，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+2}$=-$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
∴y₁+y₂=-4，
故直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{4}{-4}$=-1（定值）．

点评 本题考查直线与抛物线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．