【题目】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BC=BB1,∠BAC=∠BCA=∠ABC,点E是A1B与AB1的交点,点D在线段AC上,B1C∥平面A1BD.
(1)求证:BD⊥A1C;
(2)求证:AB1⊥平面A1BC。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先根据线面平行性质定理得B1C//ED,再根据等腰三角形性质得BD⊥AC,根据直棱柱性质得A1A⊥BD,最后根据线面垂直判定定理得结论,(2)根据菱形性质得AB1⊥A1B,再根据直棱柱性质得BC⊥BB1, 由AB⊥BC,根据线面垂直判定定理得BC⊥平面ABB1A.即得BC⊥AB1,最后根据线面垂直判定定理得结论.
试题解析:
(I)证明:连结ED,∵平面AB1C平面A1BD=ED,B1C//平面A1BD,
∴B1C//ED,.
∵E为AB1中点,∴D为AC中点;..
∵∠BAC=∠BCA=∠ABC,∴AB=BC,∴BD⊥AC,.
由A1A⊥平面ABC,BD平面ABC,得A1A⊥BD.
由及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线,
得BD⊥平面A1ACC1,
因为A1C平面AlACC1,故BD⊥A1C
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB=BC,AB⊥BC,.
∵BB1=BC,∴四边形ABB1A1是菱形,∴AB1⊥A1B,.
∵BB1⊥平面ABC,BC平面ABC.∴BC⊥BB1.
∵ABBB1=B,AB,BB1平面ABB1A1.∴BC⊥平面ABB1A..
∵AB1平面ABB1A1,∴BC⊥AB1,....
∵BCA1B=B,BC,A1B平面A1BC,∴AB1⊥平面A1BC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】设抛物线的焦点为,准线为.已知点在抛物线上,点在上, 是边长为4的等边三角形.
(1)求的值;
(2)在轴上是否存在一点,当过点的直线与抛物线交于、两点时, 为定值?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)-mx(mR)。(1)若m>0,讨论f(x)的单调性;(2)令g(x)=f(x-1)+(2m+1)x+n,若g(x)有两个零点,,求证: <
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足2acosC+bcosC+ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求C的大小。
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【题目】已知抛物线E:的焦点为F,是抛物线E上一点,且.
1求抛物线E的标准方程;
2设点B是抛物线E上异于点A的任意一点,直线AB与直线交于点P,过点P作x轴的垂线交抛物线E于点M,设直线BM的方程为,k,b均为实数,请用k的代数式表示b,并说明直线BM过定点.
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