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在正方体AC1中,已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明:
(1)AB1GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.

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证明:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0),D(0,1,0)、A1(0,0,1)、B1(1,0,1)、C1(1,1,1)、D1(0,1,1),
由中点性质得E(1,1,
1
2
)、F(1,
1
2
,0),G(
1
2
,1,0)、H(
1
2
1
2
,1).
(1)则
AB1
=(1,0,1),
GE
=(
1
2
,0,
1
2
),
EH
=(-
1
2
,-
1
2
1
2

AB1
=2
GE
AB1
EH
=1×(-
1
2
)+1×
1
2
=0,
AB1
GE
AB1
EH

即AB1GE,AB1⊥EH.
(2)∵
A1G
=(
1
2
,1,-1),
DF
=(1,-
1
2
,0),
DE
=(1,0,
1
2
),
A1G
DF
=
1
2
-
1
2
+0=0,
A1G
DE
=
1
2
+0-
1
2
=0,
∴A1G⊥DF,A1G⊥DE.
又DF∩DE=D,
∴A1G⊥平面EFD.
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