【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)若关于的方程
有且仅有一个实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是
.(2)实数
的取值范围是
【解析】
(Ⅰ)求函数f(x)的导数,利用导数小于0,求解单调递减区间;
(Ⅱ)分离变量,通过函数的图象的交点个数,判断零点个数,利用单调性求解函数的极值,推出结果即可.
(Ⅰ)由题可得:
令,得
,解得:
∴函数的单调递减区间是
.
(Ⅱ)∵方程有且仅有一个实根
∴方程有且仅有一个非零实根,即方程
有且仅有一个实根.
因此,函数的图像与直线
有且仅有一个交点.
结合(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
.
∴函数的极大值是
,极小值是
.
又∵且
时,
.∴当
或
或
时,
函数的图像与直线
有且仅有一个交点.
∴若方程有且仅有一个实根,
实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情
每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南Q镇
年梅雨季节的降雨量
单位:
的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
Ⅰ
“梅实初黄暮雨深”
假设每年的梅雨天气相互独立,求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率;
Ⅱ
“江南梅雨无限愁”
在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,平均每年的总利润为28万元
而乙品种杨梅的亩产量
亩
与降雨量之间的关系如下面统计表所示,又知乙品种杨梅的单位利润为
元
,请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润
万元
的期望更大?
需说明理由
降雨量 | ||||
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,射线和
均为笔直的公路,扇形
区域(含边界)是规划的生态文旅园区,其中
、
分别在射线
和
上.经测量得,扇形
的圆心角(即
)为
、半径为
千米.根据发展规划,要在扇形
区域外修建一条公路
,分别与射线
、
交于
、
两点,并要求
与扇形弧
相切于点
(
不与
重合).设
(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为
的函数;
(2)已知公路每千米的造价为万元,问建造这样一条公路
,至少要投入多少万元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果函数在定义域内存在区间
,使得该函数在区间
上的值域为
,则称函数
是该定义域上的“和谐函数”.
(1)判断函数是不是“和谐函数”,并说明理由;
(2)若函数是“和谐函数”,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】 如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE的中点.
(1)求证:DE=DA;
(2)求证:平面BDM⊥平面ECA;
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