分析 (1)由题意,点(12,4$\sqrt{3}$)在抛物线y2=4mx(m>0)上,求出m,即可求抛物线的方程;
(2)利用$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$,M(-1,0),求出P,Q的坐标,表示出|PQ|,利用λ∈[$\frac{1}{2}$,1),求|PQ|的取值范围.
解答 解:(1)由题意,点(12,4$\sqrt{3}$)在抛物线y2=4mx(m>0)上,
∴48=48m,
∴m=1,
∴抛物线的方程为y2=4x;
(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
∵$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$,M(-1,0),
∴(x1+1,y1)=λ(x2+1,y2),
∴y1=λy2,x1+1=λ(x2+1),
∴x1=λ2x2,
∴λ2x2+1=λ(x2+1),
∴x2=$\frac{1}{λ}$,x1=λ,
∴取P(λ,2$\sqrt{λ}$),Q($\frac{1}{λ}$,$\frac{2}{\sqrt{λ}}$),
∴|PQ|2=(λ-$\frac{1}{λ}$)2+(2$\sqrt{λ}$-$\frac{2}{\sqrt{λ}}$)2=λ2+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+4(λ+$\frac{1}{λ}$)-10,
设λ+$\frac{1}{λ}$=t,t∈(2,$\frac{5}{2}$],∴|PQ|2=t2+4t-12=(t+2)2-16∈(0,$\frac{17}{4}$]
∴|PQ|∈(0,$\frac{\sqrt{17}}{2}$].
点评 本题考查抛物线方程,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,确定P,Q的坐标是关键.
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学业成绩 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
学业水平 | 一般 | 良好 | 优秀 |
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A. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{4}$] | B. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$] | C. | (0,$\frac{1}{2}$] | D. | (0,2] |
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