Question

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面EBD⊥平面PAC；
（3）若PA=AB=4，求四棱锥P-ABCD的全面积．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的性质、正方形的性质、面面垂直的判定定理即可得出．
（3）利用已知可得△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA．的等边三角形，再利用正三角形的面积公式、正方形的面积公式即可得出．

解答：（1）证明：如图所示，连接OE，∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中点．∴CE=EP．
∴OE∥AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
而BD?BED，∴平面BED⊥平面PAC．
（3）∵PO⊥底面ABCD，OA=OB，∴PA=

OA2+OP2

=

OB2+OP2

=PB，同理，PB=PC=PD．
∵PA=AB，∴△PAB是等边三角形，且△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA．
而S正方形ABCD=42=16，S△PAB=

3

4

•AB2=4

3

．
∴四棱锥P-ABCD的全面积=S_{正方形ABCD}+4S_△PAB=16+16

3

．

点评：熟练掌握正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质、正方形的性质、面面垂直的判定定理、等边三角形的面积公式等是解题的关键．