Question

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm．
（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）试确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

Answer 1

分析：（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）直接根据上面的结论求出其导函数，得到函数的单调性，根据单调性即可求出其最值．

解答：解：（1）由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则OA=

AQ

cos∠BAO

=

10

cosθ

，故OB=

10

cosθ

又OP=10-10tanθ，所以y=OA+OB+OP=

10

cosθ

+

10

cosθ

+10-10tanθ
所求函数关系式为y=

20-10sinθ

cosθ

+10

&(0≤θ≤ π 4 )

（2）y′=

-10cosθcosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

10(2sinθ-1)

cos2θ

令y'=0得sinθ=

1

2

∵0≤θ≤

π

4

∴θ=

π

6

当θ∈(0，

π

6

)时y'＜0，y是θ的减函数；当θ∈(

π

6

，

π

4

)时y'＞0，y是θ的增函数；
所以当θ=

π

6

时，ymin=

20-10× 1 2

3 2

+10=10

3

+10
此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边

10 3

3

km处．

点评：本题主要考查解三角形的实际应用以及利用导数求闭区间上函数的最值．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．