Question

设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=±（x-5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．
解答：解：根据题意，得a²=9，b²=16，
∴c==5，且A（3，0），F（5，0），
∵双曲线的渐近线方程为y=±x
∴直线BF的方程为y=±（x-5），
①若直线BF的方程为y=（x-5），与渐近线y=-x交于点B（，-）
此时S_△AFB=|AF|•|y_B|=•2•=；
②若直线BF的方程为y=-（x-5），与渐近线y=x交点B（，）
此时S_△AFB=|AF|•|y_B|=•2•=．
因此，△AFB的面积为
故答案为：
点评：本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．