Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AC=BC，D、E、F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD；
（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结DE，

∵D，E分别是AB，BC的中点

∴DE∥AC，DE= AC，

∵F为棱A1C1的中点．

∴A1F= A1C1，

∴A1F∥ AC，

即DE∥A1F，DE=A1F，

∴四边形A1DEF为平行四边形，

∴A1D∥EF

又∵EF平面A1CD，A1D平面A1CD，

∴EF∥平面A1CD

（2）证明：∵A1A⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴AA1⊥CD，

∵AC=BC，D为AB的中点，

∴AB⊥CD，

∵A1A∩AB=A

∴CD⊥平面ABB1A1

∵CD平面A1CD，

∴平面A1CD⊥平面ABB1A1．

【解析】（1）根据线面平行的判定定理证明EF∥A1D即可证明EF∥平面A1CD；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面A1CD⊥平面ABB1A1 ．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．