Question

设集合A={x|y=

x-4 2-x

}，B={k|f（x）=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定义域为R}．
（Ⅰ）若f是A到B的函数，使得f：x→y=

2

x-1

，若a∈B，且a∉{y|y=f（x），x∈A}，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p：m∈A，命题q：m∈B，且“p且q”为假，“p或q”为真，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A=（2，4]；由题意可得kx²+kx+1≠0恒成立分，分类讨论①当k=0时，1≠0恒成立
②当k≠0时，△=k²-4k＜0可求B，而由y=

2

x-1

，可求函数值域，进而可求a的范围
（2）由题意可得P：2＜m≤4，Q：0≤m＜4，当P真Q假时，

2＜m≤4 m＜0或m≥4

；当P假Q真，

m＞4或m≤2 0≤m＜4

，可求m的范围

解答：解：（1）由题意可得，

x-4

2-x

≥0，解可得2＜x≤4
∴A=（2，4]…（2分）； 
由f（x）=

x2+x+1

kx2+kx+1

}的定义域为R可得kx²+kx+1≠0恒成立
①当k=0时，1≠0恒成立
②当k≠0时，△=k²-4k＜0，解可得0＜k＜4
综上可得，0≤k＜4
∴B=[0，4）…（4分）；
∵y=

2

x-1

，2＜x≤4
∴y∈[

2

3

，2）
∵a∈B且a∉{y|y=f（x），x∈A}，
∴a∈[0，

2

3

）∪[2，4）…（6分）
（2）∵P：2＜m≤4，Q：0≤m＜4
当P真Q假时，

2＜m≤4 m＜0或m≥4

则m=4…（8分）；
当P假Q真时，

m＞4或m≤2 0≤m＜4

，则0≤m≤2，…（10分）
所以m∈[0，2]∪{4}…（12分）

点评：本题主要考查了函数定义域的求解，二次函数的恒成立问题的求解及复合命题真假判断的应用，属于综合试题