Question

椭圆＝1(a＞b＞0)的一个焦点F与抛物线y²＝4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F．

(1)求该椭圆的方程；

(2)设椭圆的另一个焦点为F₁，问抛物线y²＝4x上是否存在一点M，使得M与F₁关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)抛物线的焦点为，准线方程为， 　　∴　① 　　又椭圆截抛物线的准线所得弦长为， 　　∴得上交点为， 　　∴　②　　4分 　　由①代入②得，解得或(舍去)， 　　从而 　　∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 　　(2)∵倾斜角为的直线过点， 　　∴直线的方程为，即， 　　由(1)知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称， 　　则得　　10分 　　解得，即 　　又满足，故点在抛物线上． 　　所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．