Question

7．已知函数f（x）=x-1-lnx，对定义域内任意x都有f（x）≥kx-2，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1-$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• B． （-∞，-$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． [-$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）
• D． [1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为k≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的范围即可．

解答 解：f（x）=x-1-lnx，若对定义域内任意x都有f（x）≥kx-2，
则k≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e²，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e²，
故g（x）在（0，e²）递减，在（e²，+∞）递增，
故g（x）的最小值是g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故k≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．