Question

如图，设由抛物线C：x²=4y与过它的焦点F的直线l所围成封闭曲面图形的面积为S（阴影部分）．
（1）设直线l与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直线l的斜率为k，试用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线C的方程可得焦点的坐标，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可设直线l的方程，与抛物线联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而根据x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

求得x₂-x₁．
（2）根据S=

∫

x1 x2

(kx+1-

1

4

x2)dx化简整理得8k2

k2+1

+4

k2+1

-

4

3

k2+1

(4k2+1)，令

k2+1

=t，进而根据t的范围求得S的范围，得到最小值．

解答：解：（1）可得点F（0，1），
设直线l的方程为y=kx+1直线l与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，又x₁＜x₂，
∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

k2+1

．
（2）所求的面积：S=

∫

x2 x1

(kx+1-

1

4

x2)dx
=(k•

x2

2

+x-

1

12

x3)

.

x2 x1

=(

k

2

x22+x2-

1

12

x23)-(

k

2

x12+x1-

1

12

x13)
=

k

2

(x2+x1)(x2-x1)+(x2-x1)-

1

12

(x2-x1)[(x1+x2)2-x1x2]
=8k2

k2+1

+4

k2+1

-

4

3

k2+1

(4k2+1)
令

k2+1

=t，则t≥1，有k²=t²-1，
S=8(t2-1)t+4t-

4

3

t[4(t2-1)+1]=

8

3

t3S=

8

3

t3
在[1，+∞）上为单调递增函数，∴当t=1，即k=0时，S有最小值

8

3

．

点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．常需要把直线方程和抛物线方程联立，根据韦达定理解决问题．