Question

（2012•桂林一模）对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．规定{△²a_n}为{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列{a_n}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，结合新定义，可判定{△a_n}是首项为4，公差为2的等差数列，不是等比数列，{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，也是首项为2，公比为1的等比数列；
（Ⅱ）先猜想an=n•2n-1，再用数学归纳法进行证明，证题时要利用到归纳假设．

解答：解：（Ⅰ）△an=an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，（2分）
∴{△a_n}是首项为4，公差为2的等差数列，不是等比数列．   （3分）
∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定义知，{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列．  （6分）
（Ⅱ）△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n，即△an-an=2n，
又△a_n=a_n+1-a_n，∴an+1=2an+2n．（9分）
∵a₁=1，∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23，
猜想an=n•2n-1．（10分）
证明：ⅰ）当n=1时，a1=1=1×20；
ⅱ）假设n=k时，则ak=k•2k-1．
当n=k+1时，ak+1=2ak+2k=k•2k+2k=(k+1)2(k+1)-1．结论也成立．
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，an=n•2n-1．（12分）

点评：本题主要考查对新定义的理解，考查等差数列与等比数列的判定，考查数列的通项，先猜后证是关键．