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13.已知f(x)=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$
(Ⅰ)写出f(x)图象的对称中心的坐标和单增区间;
(Ⅱ)△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,若f(A)=0,b+c=2.求a的最小值.

分析 (Ⅰ)由三角函数恒等变换的应用化简得:f(x)=cos(2x+$\frac{π}{3}$),由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可解得对称中心;
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ,k∈Z,可解得单增区间.
(Ⅱ).由f(A)=0,由(Ⅰ)及范围0<A<π,可求A的值,根据余弦定理与基本不等式即可求解.

解答 解:(Ⅰ)化简得:f(x)=${cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$=cos(2x+$\frac{π}{3}$)…(3分)
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可解得对称中心为:${(\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},0)_{(k∈z)}}$,
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ,k∈Z,可解得单增区间为:$[kπ-\frac{2π}{3},kπ-\frac{π}{6}]{_{(k∈z)}}$…(6分)
(Ⅱ).由(Ⅰ).知:$f(A)=cos(2A+\frac{π}{3})+1=0,可得:cos(2A+\frac{π}{3})=-1$,
∵0<A<π,
∴$\frac{π}{3}<2A+\frac{π}{3}<\frac{7π}{3}$.
∴$2A+\frac{π}{3}=π$,于是:$A=\frac{π}{3}$…(9分)
根据余弦定理:${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=$4-3bc≥4-3{(\frac{b+c}{2})^2}=1$,
当且仅当b=c=1时,a取最小值1…(12分)

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,余弦函数的图象和性质,余弦定理与基本不等式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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