Question

定义在（-1，l）上的函数f （x）满足：当x，y∈（-1，l）时，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，并且当x∈（-1，0）时，f （x）＞0；若P=f（

1

3

）+f（

1

4

），Q=f（

1

2

），R=f（0），则P，Q，R的大小关系为（　　）

A．R＞Q＞P

B．R＞P＞Q

C．P＞Q＞R

D．Q＞P＞R

Answer 1

分析：在已知函数中令y=x=0可得f（0）=0，令x=0可得f（-y）=-f（y）可得函数f（x）是奇函数，由x∈（-1，0）时，f （x）＞0可知f（x）是单调减函数，结合函数的这些性质及已知函数的关系可比较P，Q，R的大小

解答：解：∵x，y∈（-1，l）时，f（x）-f （y）=f(

x-y

1-xy

)，
令y=x=0可得f（0）-f（0）=f（0）
∴f（0）=0
令x=0可得f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
设-1＜x₁＜x₂＜0
则-1＜x₁-x₂＜0，0＜1-x₁x₂＜1
∴-1＜(

x1-x2

1-x1x2

)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-1，0）上是单调减函数
根据奇函数的对称区间上的单调性相反可知，函数f（x）在（-1，1）上单调 递减
而P=f(

1

3

)+f(

1

4

)=f(

1

3

)-f(-

1

4

)=f(

1 3 + 1 4

1+ 1 12

)=f(

7

13

)
由于

7

13

＞

1

2

＞0，
由单调性可得R＞Q＞P
故选A

点评：本题综合考查了函数的抽象函数的单调性、奇偶性及利用赋值法比较函数值的大小，属于函数知识的综合应用