Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，|

OH

|=λ|

OF1

|，λ∈[

1

3

，

1

2

]（其中O为坐标原点）．求椭圆C离心率e的最大值．

Answer 1

分析：由已知中椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，

PF2

•

F1F2

=0，

OH

•

PF1

=0，我们易得PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，进而由|

OH

|=λ|

OF1

|，我们可以得到离心率e平方的表达式，分析出其对应函数的单调性，进而得到椭圆C离心率e的最大值．

解答：解：由题意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，则有△F₁OH与△F₁PF₂相似，
所以

|OH|

|OF1|

=

|PF2|

|F1P|

=λ，设F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），
则有

c2

a2

+

y12

b2

=1，解得y1=

b2

a

，
所以|PF2|=y1=

b2

a

．
根据椭圆的定义得：|F1P|=2a-|PF 2|=2a-

b2

a

，
∴λ=

b2

2a2-b2

，
即

b2

a2

=

2λ

1+λ

，
所以e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=

2

1+λ

-1，
∵e2=

2

1+λ

-1在[

1

3

，

1

2

]上是单调减函数，
∴当λ=

1

3

时，e²取最大值

1

2

，
所以椭圆C离心率e的最大值是

2

2

．

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的离心率，其中由已知条件求出离心率e平方的表达式，并分析出其对应函数的单调性是解答本题的关键．