Question

6．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，x∈N₊且1≤x≤20．
（1）分别计算f（1），f（5），f（20）的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）f（1）即把函数中的所有x值代为1，结合等差数列的求和公式，计算可得，同理求得f（5），f（20）；
（2）设x是1～20中的某一整数，则f（x）=（x-1）+（x-2）+…+3+2+1+0+1+2+…+（20-x），再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意x为整数，即可得到最小值．

解答 解：（1）由f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-20|，
得f（1）=0+1+2+…+19=$\frac{19×（1+19）}{2}$=190；
f（5）=4+3+2+1+0+1+2+…+15=10+$\frac{15×（1+15）}{2}$=10+120=130；
f（20）=19+18+17+…+3+2+1+0=$\frac{19×（19+1）}{2}$=190．
（2）设x是1～20中的某一整数，
则f（x）=（x-1）+（x-2）+…+3+2+1+0+1+2+…+（20-x）
=$\frac{（x-1）[1+（x-1）]}{2}$+$\frac{（20-x）[1+（20-x）]}{2}$
=$\frac{1}{2}$（2x²-42x+420）=x²-21x+210=（x-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{399}{4}$．
因为x∈N₊，所以当x=10或11时，f（x）取最小值，
f（10）=f（11）=100，即最小值是100．

点评 本题主要考查函数的最值求法，注意运用等差数列的求和公式和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．