Question

已知ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=1，BC=2，E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点E的坐标；
（2）能否在BC上找到一点F，使EF⊥CD？若能，请求出点F的位置，若不能，请说明理由；
（3）求证：平面PCB⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：D（0，1，0）P（0，0，1），C（1，2，0），根据题意即可求出点E的坐标．
（2）假设能在BC上找到一点F，使EF⊥CD，设F（1，t，0），分别写出直线EF与CD所在的向量，利用向量的数量积为0，即可求出t的值．
（3）利用向量的数量积为0可得EF⊥PC，再证明线面垂直，进而证明面面垂直．

解答：解：（1）由题意可得：D（0，1，0）P（0，0，1），C（1，2，0），
∵E为PC的中点，
∴E（

1

2

，1，

1

2

）（2分）
（2）设能在BC上找到一点F，使EF⊥CD，设F（1，t，0），
则

EF

=(

1

2

，t-1，-

1

2

)，并且

CD

=(-1，-1，0)，
∵EF⊥CD，
∴

EF

•

CD

=-

1

2

+1-t=0，
∴t=

1

2

，即存在点F(1，

1

2

，0)满足要求．（5分）
（3）∵

PC

=（1，2，-1）
∴

EF

•

PC

=(

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)•(1，2，-1)=0，
∴EF⊥PC（6分）．
由（2）知：EF⊥CD，因为PC∩CD=C，
所以EF⊥平面PCD，
又∵EF?平面PCB，（7分）
∴平面PCB⊥平面PCD．（8分）

点评：利用空间坐标系，求出相应直线的方向向量与平面的法向量，进而将空间线线的垂直问题，及线面的垂直问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．