Question

已知锐角α、β满足

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1且

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0
（1）求cosα的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简已知的第一个等式后，再根据二倍角的余弦函数公式即可求出cosα的值；
（2）由（1）求出的cosα的值，及α为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，以及sin2α和cos2α的值，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简已知第二个等式左边的第二项，把sin2α和cos2α的值代入，合并移项后，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanβ的值，最后利用两角和与差的正切函数公式表示出tan（α+β），把tanα和tanβ的值代入求出tan（α+β）的值，由α、β为锐角，求出α+β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．

解答：解：（1）∵

5

[sin(π-

α

2

) +sin(

π

2

+

α

2

) ]• [cos(

π

2

-

α

2

) +cos(π+

α

2

) ]=-1，
整理得：

5

（sin

α

2

+cos

α

2

）（sin

α

2

-cos

α

2

）=-1，
则cosα=cos²

α

2

-sin²

α

2

=

5

5

；
（2）∵cosα=

5

5

，且α为锐角，
∴sinα=

2 5

5

，tanα=2，
则sin2α=2sinαcosα=

4

5

，cos2α=cos²α-sin²α=-

3

5

，
又

1

3

sinβ+sin（2α+β）=0，
即

1

3

sinβ+sin2αcosβ+cos2αsinβ=

1

3

sinβ+

4

5

cosβ-

3

5

sinβ=0，
∴tanβ=3，
则tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2+3

1-2×3

=-1，
又α、β为锐角，∴0＜α+β＜π，
则α+β=

3π

4

．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．