Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-2时，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

解：（Ι）由（x＞0）知：
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞）；…（2分）
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；…（4分）
当a=0时，函数f（x）=-3是常数函数，无单调区间． …（6分）
（Ⅱ）当a=-2时，f（x）=-2lnx-ax-3，．
故，…（7分）
∴g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵函数g（x）=x³+x²[]在区间（t，3）上总存在极值
∴函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点
∵函数g′（x）是开口向上的二次函数，且g′（0）=-2＜0
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0
由g′（t）＜0，可得m＜，令H（t）=，则H′（t）=-
∴H（t）在[1，2]上单调递减，∴H（t）≥H（2）=-9，∴m＜-9
由g′（3）＞0，可得27+（4+m）×3-2＞0，∴m＞
∴时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[]在区间（t，3）上总存在极值．
分析：（Ι）求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数g（x）=x³+x²[]在区间（t，3）上总存在极值，可得函数g′（x）在区间（t，3）上总存在零点，进而可得g′（t）＜0，g′（3）＞0，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确求导是关键．