Question

15．如图，在△ABC中，已知点D在AB边上，且$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，sin∠ACB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，AC=$\sqrt{7}$，AD=1．
（Ⅰ）求CD的长；
（Ⅱ）求角B的大小．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0知∠BCD=90°，结合sin∠ACB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$可求出sin∠ACD，在△ACD中使用正弦定理求出∠ADC，∠A，和CD．
（2）∠B=∠ADC-∠BCD．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，∴∠BCD=90°．
∵sin∠ACB=sin（∠ACD+90°）=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴cos∠ACD=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，∴sin∠ACD=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
在△ACD中，∵$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即$\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{14}}=\frac{\sqrt{7}}{sin∠ADC}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠ADC=120°．
∴∠A=60°-∠ACD，
∴sin∠A=sin（60°-∠ACD）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{14}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∵$\frac{CD}{sinA}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{CD}{\frac{\sqrt{21}}{7}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{14}}$，∴CD=2．
（2）∵∠B+∠BCD=∠ADC，
∴∠B=∠ADC-∠BCD=120°-90°=30°．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．