Question

气象台预报，距离S岛正东方向300km的A处有一台风形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心处不超过270km以内的地区将受到台风的影响．问：
（1）从台风形成起经过3小时，S岛是否受到影响（精确到0.1km）？
（2）从台风形成起经过多少小时，S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？（精确到0.1小时）

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）设台风中心经过3小时到达点B，在△SAB中，由已知结合余弦定理求得SB，判断与270的大小后得答案；
（2）设台风中心经过t小时到达点B，在△SAB中，由已知结合余弦定理求得SB，再由SB²≤270²列不等式求解t的取值范围，从而得到S岛受到台风的影响时刻和持续时间．

解答： 解；（1）设台风中心经过3小时到达点B，
由题意，在△SAB中，SA=300，AB=90，
∠SAB=90°-30°=60°，根据余弦定理，
SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB
=300²+90²-2×300×90cos60°
=71100，
∴SB=

71100

≈266.6＜270．
∴经过3小时S岛已经受到了影响．
（2）可设台风中心经过t小时到达点B，由题意得，
∠SAB=90°-30°=60°．
在△SAB中，SA=300，AB=30t，
由余弦定理，SB²=SA²+AB²-2SA•AB•cos∠SAB=300²+（30t）²-2×300×30tcos60°，
若S岛受到台风影响，则有SB≤270，即SB²≤270²，
化简整理得t²-10t+19≤0，解此不等式得5-

6

≤t≤5+

6

．
即t的范围大约在2.5小时与7.4小时之间．
∴从台风形成起，大约在2.5小时S岛开始受到影响，约持续4.9小时以后影响结束．

点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了余弦定理的用法，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．