Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+b（a∈R，b∈R）．
（I） 设a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 设a=-1，若方程f（x）=0在[-2，2]上有且仅有一个实数解，求b的取值范围．

Answer 1

解：（ I）f'（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），…（2分）
因为a＞0，所以2a＞0
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

当x＞2a或x＜0时，f'（x）＞0；当0＜x＜2a时，f'（x）＜0．
所以，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2a，+∞），
单调递减区间是（0，2a）．…（6分）
（ II）f（x）=x³+3x²+b，f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），x∈[-2，2]
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-	0	+
f（x）	b+4	递减	极小值b	递增	b+20

…（8分）
因为方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解，而b+4＜b+20，
所以b=0，…（10分）
或
所以方程f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解时，b的取值范围是b=0或-20≤b＜-4．…（12分）
分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）由函数零点的存在定理，我们可以将区间[-2，2]分为区间（-2，0）和（0，2）两种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）=0在区间[-2，2]有且仅有一个实数解，则实数b的取值范围可得
点评：本题考查了函数的单调性、利用导数研究函数的极值，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．