已知二次函数f(x)=-3x2+2bx+c的图象经过原点,其对称轴方程为x=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[2,3]时,求函数g(x)=f(x)-6(m+2)x-9的最大值h(m).
解:(1)二次函数f(x)=-3x
2+2bx+c的图象经过原点,则c=0,
又∵二次函数的图象对称轴是直线x=2,
,
∴二次函数解析式为:y=-3x
2+12x.
(2)g(x)=f(x)-6(m+2)x-9=-3x
2-6mx-9,x∈[2,3].
配方得,g(x)=-3(x+m)
2+3m
2-9,
∵m∈[-3,+∞),∴-m∈(-∞,3]
①当-m<2时,m>-2时,h(m)=g(2)=-12m-21;
②当2≤-m≤3时,-3≤m≤-2时,h(m)=g(-m)=3m
2-9.
③当-m>3时,m<-3时,h(m)=g(3)=-36-18m.
综上,h(m)=
.
分析:(1)根据二次函数的图象经过原点,得c的值,根据图象对称轴是直线x=2,求出b值,从而得出解析式即可.
(2)根据二次函数的图象和性质,分别讨论函数的对称轴与区间[2,3]的关系,即可求出函数f(x)在[2,3]上的最大值h(m)的表达式;
点评:本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式,考查二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的性质,二次函数的图象和性质,其中在解答含有参数的二次函数问题时,判断对称轴与给定区间的范围,以此为分类标准对参数进行分类讨论,是解答的关键.