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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x=1垂直,求实数a的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅰ)f′(x)=
1
x
-2ax+a-2=
-(2x-1)(ax+1)
x

∵曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x=1垂直,
∴f'(1)=-(a+1)=0,
解得:a=-1;
(Ⅱ)由题意可得,f(x)定义域为(0,+∞)
(I)对函数求导可得,f′(x)=
1
x
-2ax+a-2=
-(2x-1)(ax+1)
x

①a≥0时,ax+1>0,x>0
由f′(x)>0可得,x∈(0,
1
2
),由f′(x)<0可得x∈(
1
2
,+∞),
∴f(x)在(0,
1
2
)单调递增,在(
1
2
,+∞)单调递减,
②a<0时,令f′(x)=0可得x1=
1
2
或x2=
1
a

(i)当-2<a<0时-
1
a
1
2

由f′(x)<0可得x∈(
1
2
,-
1
a
),由f′(x)>0可得x∈(0,
1
2
),
故f(x)在(
1
2
,-
1
a
)单调递减,在(0,
1
2
),(-
1
a
,+∞)上单调递增,
(ii)当a<-2时,同理可得f(x)在(-
1
a
1
2
)单调递减,在(0,-
1
a
),(
1
2
,+∞)单调递增,
(iii)当a=-2时,f′(x)=
(2x-1)2
x
≥0

∴f(x)在(0,+∞)单调递增.
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1
3
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