Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x₁，x₂∈（0，+∞）恒有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；
（3）若f（3）=-1，
（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3^x）＜-2．

Answer 1

（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=0，
（2）设x₂＞x₁＞0，则 f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
∴不等式f（3^x）＜-2可化为f（3^x）＜f（9），
又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3^x＞9，
即3^x＞3²，解得：x＞2，
即不等式的解集为 （2，+∞）．