Question

已知a，b∈R，函数f（x）=ln（x+1）-x²+ax+b的图象经过点A（0，2）．
（1）若曲线y=f（x）在点A处的切线与直线3x-y-1=0平行，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）令a=-1，c∈R，函数g（x）=c+2cx-x²，若对任意x₁∈（-1，+∞），总存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点A处的切线与直线3x-y-1=0平行，即可求得a的值；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，等价于f′(x)=

1

x+1

-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立，分离参数可得a≤2x-

1

x+1

在[1，+∞）上恒成立，求出右边对应函数的最小值，即可确定实数a的取值范围；
（3）若对任意x₁∈（-1，+∞），总存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的值域是函数g（x）在x∈[-1，+∞）上的值域的子集，由此可得结论．

解答：解：（1）求导函数可得f′(x)=

1

x+1

-2x+a
∵曲线y=f（x）在点A处的切线与直线3x-y-1=0平行，
∴f′（0）=1+a=3，∴a=2；
（2）∵函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，∴f′(x)=

1

x+1

-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立
∴a≤2x-

1

x+1

在[1，+∞）上恒成立
设g（x）=2x-

1

x+1

，则2-

1

(x+1)2

∵x≥1，∴g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上为增函数
∴g（x）_min=g（1）=

7

4

，∴a≤

7

4

；
（3）若对任意x₁∈（-1，+∞），总存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的值域是函数g（x）在x∈[-1，+∞）上的值域的子集
对于函数f（x），∵a=-1，∴f（x）=ln（x+1）-x²-x+b
∵函数过点A（0，2），∴b=2，∴f（x）=ln（x+1）-x²-x+2（x∈（-1，+∞））
∴f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

令f′(x)=

-x(2x+3)

x+1

=0，得x₁=0，x₂=-

3

2

（舍去）
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴函数在x=0时取得最大值f（0）=2
∴f（x）的值域为（-∞，2]，
g（x）=c+2cx-x²，=-（x-c）²+c+c²，
①当c≤-1时，g（x）的最大值为g（-1）=-1-2c+c=-1-c，则g（x）的值域为（-∞，-1-c]，所以（-∞，2]⊆（-∞，-1-c]，
∴-1-c≥2，∴c≤-3；
②当c＞-1时，g（x）的最大值为g（c）=c+c²，则g（x）的值域为（-∞，c+c²]，所以（-∞，2]⊆（-∞，c+c²]，
∴c+c²≥2，∴c≤-2或c≥1，∴c≥1；
综上所述，c的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．