Question

设函数f_n（x）=aⁿx²+bⁿx+nc（ab≠0，n∈N₊）．
（1）若a，b，c均为整数，且f₁（0），f₁（1）均为奇数，求证：f₁（x）=0没有整数根．
（2）若a，b为两不相等的实数，求证：数列{f_n（1）-nc}不是等比数列．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：证明题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）运用反证法．假设f₁（x）=0有整数根n（n∈Z），由条件可判断a，b，c的奇偶性，讨论n为奇数和偶数，即可得证；
（2）运用反证法证明．假设数列{aⁿ+bⁿ}为等比数列，取前三项，运用等比数列的性质得到方程，解得即可判断．

解答： 证明：（1）假设f₁（x）=0有整数根n（n∈Z），则an²+bn+c=0．
由题设f₁（0），f₁（1）均为奇数，知c为奇数，a+b为偶数，a与b的奇偶性相同．
当n为奇数时，an²+bn为偶数；当n为偶数时，an²+bn也为偶数，
所以an²+bn+c为奇数，这与an²+bn+c=0矛盾．
故假设错误，即f₁（x）=0无整数根．
（2）由题设知f_n（1）-nc=aⁿ+bⁿ，假设数列{aⁿ+bⁿ}为等比数列，
取该数列的前三项a+b，a²+b²，a³+b³，
则有（a²+b²）²=（a+b）（a³+b³），
即2ab=a²+b²，得（a-b）²=0，即a=b，
这与已知a，b为两不相等的实数矛盾．
所以数列{f_n（1）-nc}不是等比数列．

点评：本题考查函数与数列的综合，考查等比数列的性质，考查反证法的运用，考查推理判断能力，属于中档题和易错题．