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设抛物线C的方程为x2=4y,M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.
(1)当M的坐标为(0,-1)时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系;
(2)求证:直线AB恒过定点;
(3)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使△MAB为直角三角形,若存在,有几个这样的点,若不存在,说明理由.
(1)证明:当M的坐标为(0,-1)时,设过M点的切线方程为y=kx-1,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,
令△=16k2-16=0,解得k=±1,
代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分)
因为M到AB的中点(0,1)的距离为2,
从而过M,A,B三点的圆的方程为x2+(y-1)2=4.
∵圆心坐标为(0,1),半径为2,∴圆与直线l:y=-1相切…(4分)
(2)证法一:设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为(y-
y 1
)=k(x-x1)
,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0△=(4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又因为x12=4y1,所以k=
x1
2
…(6分)
从而过抛物线上点A(x1,y1)的切线方程为y-
y 1
=
x1
2
(x-x1)
y=
x1
2
x-
x21
4

又切线过点M(x0,y0),所以得y0=
x1
2
x0-
x21
4
①即y0=
x1
2
x0-y1
…(8分)
同理可得过点B(x2,y2)的切线为y=
x2
2
x-
x22
4

又切线过点M(x0,y0),所以得y0=
x2
2
x0-
x22
4
②…(10分)
y0=
x2
2
x0-y2
…(6分)
即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足y0=
x
2
x0-y
即x0x=2(y0+y),故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法二:设过M(x0,y0)的抛物线的切线方程为y-
y 0
=k(x-x0)
(k≠0),
代入x2=4y,消去y,得x2-4kx-4(y0-kx0)=0
∴△=(4k)2+4×4(y0-kx0)=0即:k2-x0k+y0=0…(6分)
从而k1=
x0+
x20
-4y0
2
k2=
x0-
x20
-4y0
2
此时x1=
2
k1
x2=
2
k2

所以切点A,B的坐标分别为A(
2
k1
1
k12
)
B(
2
k2
1
k22
)
…(8分)
因为kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
4
=
x0
2
x1+x2
2
=
2
k1
+
2
k2
2
=
k1+k2
k1k2
=x0
y1+y2
2
=
1
k12
+
1
k22
2
=
(k1+k2)2-2k1k2
2(k1k2)2
=
x20
-2y0
2

所以AB的中点坐标为(x0
x20
-2y0
2
)
…(11分)
故直线AB的方程为y-
x20
-2y0
2
=
x0
2
(x-x0)
,即x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
证法三:由已知得y=
x2
4
,求导得y=
x
2
,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),故过点A(x1,y1)的切线斜率为k=
x1
2
,从而切线方程为(y-
y 1
)=
x1
2
(x-x1)
y=
x1
2
x-
x21
4

…(7分)
又切线过点M(x0,y0),所以得y0=
x1
2
x0-
x21
4
①即y0=
x1
2
x0-y1
…(8分)
同理可得过点B(x2,y2)的切线为y=
x2
2
x-
x22
4

又切线过点M(x0,y0),所以得y0=
x2
2
x0-
x22
4
②即y0=
x2
2
x0-y2
…(10分)
即点A(x1,y1),B(x2,y2)均满足y0=
x
2
x0-y
即x0x=2(y0+y),故直线AB的方程为x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,故x0x=2(y-m)对任意x0成立,所以x=0,y=m,从而直线AB恒过定点(0,m)…(14分)
(3)由(2)中①②两式知x1,x2是方程y0=
x
2
x0-
x
4
的两实根,故有
x1+x2=2x0
x1x2=4y0

y1=
x21
4
y2=
x22
4
,y0=m
MA
MB
=4m2+m
x20
-4m-
x20
=(m-1)(
x20
+4m),…(9分)
①当m=1时,
MA
MB
=0,直线l上任意一点M均有MA⊥MB,△MAB为直角三角形;…(10分)
②当0<m<1时,
MA
MB
<0,∠AMB>
π
2
,△MAB不可能为直角三角形;…(11分)
③当m>1时,
MA
MB
>0,∠AMB<
π
2
,.
因为kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
4
=
x0
2
kMA=
x1
2
=
x0±
x20
-4y0
2

所以kABkMA=
x0(x0±
x20
-4y0
)
4

若kABkMA=-1,则
x0(x0±
x20
-4y0
)
4
=-1
,整理得(y0+2)
x20
=-4,
又因为y0=-m,所以(m-2)
x20
=4,
因为方程(m-2)
x20
=4有解的充要条件是m>2,所以当m>2时,有MA⊥AB或MB⊥AB,△MAB为直角三角形…(13分)
综上所述,当m=1时,直线l上任意一点M,使△MAB为直角三角形,当m>2时,直线l上存在两点M,使△MAB为直角三角形;当0<m<1或1<m≤2时,△MAB不是直角三角形.…(14分)
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-
10
10
-
10
10

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A.             B.-           C.            D.-

 

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