Question

设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为(y-

y

1

)=k(x-x1)，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因为x12=4y1，所以k=

x1

2

…（6分）
从而过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为y-

y

1

=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 21

4

又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 21

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为y=

x2

2

x-

x 22

4

，
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 22

4

②…（10分）
即y0=

x2

2

x0-y2…（6分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直线AB的方程为x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x₀，y₀）的抛物线的切线方程为y-

y

0

=k(x-x0)（k≠0），
代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y₀-kx₀）=0
∴△=（4k）²+4×4（y₀-kx₀）=0即：k²-x₀k+y₀=0…（6分）
从而k1=

x0+ x 20 -4y0

2

，k2=

x0- x 20 -4y0

2

此时x1=

2

k1

，x2=

2

k2

所以切点A，B的坐标分别为A(

2

k1

，

1

k12

)，B(

2

k2

，

1

k22

)…（8分）
因为kAB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，

x1+x2

2

=

2 k1 + 2 k2

2

=

k1+k2

k1k2

=x0，

y1+y2

2

=

1 k12 + 1 k22

2

=

(k1+k2)2-2k1k2

2(k1k2)2

=

x 20 -2y0

2

，
所以AB的中点坐标为(x0，

x 20 -2y0

2

)…（11分）
故直线AB的方程为y-

x 20 -2y0

2

=

x0

2

(x-x0)，即x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法三：由已知得y=

x2

4

，求导得y=

x

2

，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故过点A（x₁，y₁）的切线斜率为k=

x1

2

，从而切线方程为(y-

y

1

)=

x1

2

(x-x1)即y=

x1

2

x-

x 21

4

…（7分）
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x1

2

x0-

x 21

4

①即y0=

x1

2

x0-y1…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为y=

x2

2

x-

x 22

4

，
又切线过点M（x₀，y₀），所以得y0=

x2

2

x0-

x 22

4

②即y0=

x2

2

x0-y2…（10分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足y0=

x

2

x0-y即x₀x=2（y₀+y），故直线AB的方程为x₀x=2（y₀+y）…（12分）
又M（x₀，y₀）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故x₀x=2（y-m）对任意x₀成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
（3）由（2）中①②两式知x₁，x₂是方程y0=

x

2

x0-

x 2

4

的两实根，故有

x1+x2=2x0 x1x2=4y0

∵y1=

x 21

4

，y2=

x 22

4

，y₀=m
∴

MA

•

MB

=4m²+m

x

20

-4m-

x

20

=（m-1）（

x

20

+4m），…（9分）
①当m=1时，

MA

•

MB

=0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）
②当0＜m＜1时，

MA

•

MB

＜0，∠AMB＞

π

2

，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）
③当m＞1时，

MA

•

MB

＞0，∠AMB＜

π

2

，．
因为k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，kMA=

x1

2

=

x0± x 20 -4y0

2

，
所以k_ABk_MA=

x0(x0± x 20 -4y0 )

4

若k_ABk_MA=-1，则

x0(x0± x 20 -4y0 )

4

=-1，整理得（y₀+2）

x

20

=-4，
又因为y₀=-m，所以（m-2）

x

20

=4，
因为方程（m-2）

x

20

=4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）
综上所述，当m=1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l上存在两点M，使△MAB为直角三角形；当0＜m＜1或1＜m≤2时，△MAB不是直角三角形．…（14分）