Question

商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售．问：
（Ⅰ）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（Ⅱ）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

Answer 1

分析：（I）设出函数解析式，确定利润函数，利用配方法，即可求出最大利润，羊毛衫的标价；
（II）利用商场要获得最大利润的75%，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=-300k，∴n=k（x-300）------3
∴y=（x-100）k（x-300）=k（x-200）²-10000k，x∈（100，300]---4
∵k＜0，∴x=200时，y_max=-10000k，--------------------------5
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．-------6
（Ⅱ）由题意得，k（x-100）（x-300）=-10000k•75%----------7
∴（x-250）（x-150）=0，
∴x₁=250，x₂=150-----------------10
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．------12

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．