Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)＜1，则

b+1

a+1

的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  5

  ，

  1

  3

  )
• B、(-∞，

  1

  3

  )∪(5，+∞)
• C、(

  1

  3

  ，5)
• D、（-∞，3）

Answer 1

分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．

解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4-2a，0＜a＜2，画出可行域如图．
k=

b+1

a+1

表示点Q（-1，-1）与点P（x，y）连线的斜率，
当P点在A（2，0）时，k最小，最小值为：

1

3

；
当P点在B（0，4）时，k最大，最大值为：5．
取值范围是C．
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．