Question

定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）在R上是增函数；
（3）若f（k•3^x）f（3^x-9^x-2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令x=0，y=1，结合当x＞0时，f（x）＞1，可求f（0）的值；
（2）在R上设出两个变量，利用当x＞0时，f（x）＞1，确定函数值的大小关系，即可证得结论；
（3）利用单调性，结合f（x+y）=f（x）f（y），f（0）=1，转化为具体不等式，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数k的取值范围．

解答：（1）解：令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1），
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）=1；
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在R上是增函数；
（3）解：∵f（x）在R上是增函数，f（k•3^x） f（3^x-9^x-2）=f（k 3^x+3^x-9^x-2）＜f（0），
∴3^2x-（1+k）•3^x+2＞0对任意x∈R成立．
∴1+k＜3^x+

2

3x

∵3^x＞0，∴3^x+

2

3x

≥2

2

∴k＜2

2

-1．

点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查函数单调性的证明，考查恒成立问题，考查分离参数、基本不等式的运用，正确分离参数，求出最值是关键．