Question

5．已知在函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+ax（{a∈R}）$的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（1）求a的值和切线l的方程；
（2）设曲线y=f（x）在任一点处的切线倾斜角为α，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x²-4x+a，由题意知，方程x²-4x+a=-1有两个相等的根，即可求a的值；求出切点坐标，可得切线l的方程；
（2）由（1）知k=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，即可求α的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4x+a，由题意知，方程x²-4x+a=-1有两个相等的根，
∴△=（-4）²-4（a+1）=0，∴a=3
此时方程x²-4x+a=-1化为x²-4x+4=0，得x=2，
解得切点的纵坐标为$f（2）=\frac{2}{3}$，
∴切线l的方程为$y-\frac{2}{3}=-（{x-2}）$，即3x+3y-8=0．
（2）设曲线y=f（x）上任一点（x，y）处的切线的斜率为k（由题意知k存在），
则由（1）知k=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，
∴由正切函数的单调性可得α的取值范围为$0≤α＜\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{4}≤α＜π$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．