Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$（x＞-1）的最小值为m．
（I）求m的值；
（Ⅱ）当a≤1时，解关于x的不等式（a+1）x²-（3a+1）x+2a-$\frac{m}{2}$＜0．

Answer 1

分析 （I）化简整理可得f（x）=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2，运用基本不等式可得最小值m；
（Ⅱ）（a+1）x²-（3a+1）x+2a-2＜0，即为（x-2）（（a+1）x-（a-1））＜0，对a讨论，结合二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（I）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$（x＞-1）
=$\frac{（x+1-1）^{2}+4（x+1-1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$+2
≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$+2=4，
当且仅当x=0时取得最小值4，即m=4；
（Ⅱ）（a+1）x²-（3a+1）x+2a-2＜0，
即为（x-2）（（a+1）x-（a-1））＜0，
由-1＜a≤1时，$\frac{a-1}{a+1}$≤0，解得，$\frac{a-1}{a+1}$＜x＜2；
当a=-1时，即x-2＜0，解得x＜2；
当a＜-1时，若a=-3时，即有（x-2）²＞0，即x≠2；
若a＜-3时，$\frac{a-1}{a+1}$＜2，解得x＞2或x＜$\frac{a-1}{a+1}$；
若-3＜a＜-1时，$\frac{a-1}{a+1}$＞2，解得x＜2或x＞$\frac{a-1}{a+1}$．
综上可得，-1＜a≤1时，解集为（$\frac{a-1}{a+1}$，2）；
a=-1时，解集为（2，+∞）；
a=-3时，解集为{x|x≠2}；
-3＜a＜-1时，解集为{x|x＜2或x＞$\frac{a-1}{a+1}$}；
a＜-3时，解集为{x|x＞2或x＜$\frac{a-1}{a+1}$}．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．