Question

10．已知A，B，C是不共线的三点，O是△ABC内的一点．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，求证：O是△ABC的重心．

Answer 1

分析 利用向量的运算法则：平行四边形法则得到A，O，D共线且O为三角形中线的三等分点，据三角形重心的性质判断出O为重心．

解答 证明：以$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$为邻边作平行四边形OBDC，

则$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$．
∴-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}$．
∴O为AD的中点，且A、O、D共线．
又E为OD的中点，
∴O是中线AE的三等分点，且OA=$\frac{2}{3}$AE．
∴O是△ABC的重心．

点评 本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、考查三角形的重心的性质：分三角形的中线为2：1的关系．